Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second

Tài liệu bài bác giảng môn Toán - Phương trình vi phân con đường tính cung cấp 2: 1Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 tổng quát.III- Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.II – Phương trình vi phân tuyến đường tính hệ số hằng.I. Phương trình vi phân tuyến đường tính cấp 2Định nghĩa phương trình ko thuần nhấtPhương trình vi phân tuyến đường tính cấp hai không thuần nhất"" "( ) ( ) ( ), (1)y p x y q x y f x  trong kia là những hàm liên tục.( ), ( ), ( )p x q x f xĐịnh nghĩa phương trình thuần nhấtPhương trình vi phân tuyến tính cấp ba thuần nhất"" "( ) ( ) 0, (2)y p x y q x y  trong đó là các hàm liên tục.( ), ( )p x q x2I. Phương trình vi phân tuyến đường tính cung cấp 20tq ry y y Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhấtlà nghiệm tổng quát của pt ko thuần nhất.tqylà nghiệm tổng quát của pt thuần nhất.0ylà nghiệm riêng của pt không thuần nhất.ryTập hợp những nghiệm của phương trình thuần tốt nhất làkhôn...

Bạn đang xem: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second

Xem thêm: Câu Nói Hay Vê Tình Yêu - 60+ Câu Nói Hay Về Tình Yêu Hạnh Phúc, Ngọt Ngào

Bạn đã xem trước 20 trang chủng loại tài liệu Bài giảng môn Toán - Phương trình vi phân đường tính cấp 2, để thiết lập tài liệu nơi bắt đầu về máy các bạn click vào nút tải về ở trên
1Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I – Phương trình vi phân tuyến tính cung cấp 2 tổng quát.III- Hệ phương trình vi phân đường tính cấp 1.II – Phương trình vi phân tuyến đường tính hệ số hằng.I. Phương trình vi phân con đường tính cung cấp 2Định nghĩa phương trình ko thuần nhấtPhương trình vi phân tuyến đường tính cấp hai không thuần nhất"" "( ) ( ) ( ), (1)y p. X y q x y f x  trong kia là các hàm liên tục.( ), ( ), ( )p x q x f xĐịnh nghĩa phương trình thuần nhấtPhương trình vi phân đường tính trung học cơ sở thuần nhất"" "( ) ( ) 0, (2)y p x y q x y  trong kia là những hàm liên tục.( ), ( )p x q x2I. Phương trình vi phân đường tính cung cấp 20tq ry y y Cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhấtlà nghiệm bao quát của pt ko thuần nhất.tqylà nghiệm tổng quát của pt thuần nhất.0ylà nghiệm riêng rẽ của pt ko thuần nhất.ryTập hợp những nghiệm của phương trình thuần tốt nhất làkhông gian 2 chiều: 0 1 1 2 2( ) ( )y c y x c y x là nghiệm riêng của pt thuần duy nhất (2)1( )y x" " "2 1 1 ;y y u y u Tìm nghiệm máy hai ngơi nghỉ dạng: 2 1( ) ( )y y x u x "" "" " " ""2 1 1 12y y u y u y u   "" " " "" " "1 1 111 1 02 y up qy u yy y uu yuu       "" " "" " "1 1 1 1 1 12 0y py qy u y u y py u       "" " "1 1 12 0y u y py u  Đặt , có phương trình bóc biến"z u  " "1 1 12 0y z y py z  ( )21 ( )p x dxeu dxy x  ( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x   3I. Phương trình vi phân con đường tính cung cấp 2Tìm nghiệm riêng của (1) bằng cách thức biến thiênhằng số: 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )ry c x y x c x y x " " " " "1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ry C x y C x y x C x y C x y x    "" "" " " " " " "" "" " " " " ""1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2ry C y C y C y C y C y C y C y C y        Thay vào pt (1): "" "( ) ( ) ( )r r ry p. X y q x y f x  " "1 1 2 2" " " "1 1 2 20( )C y C yC y C y f x    Giải hệ tra cứu ." "1 2,C CSuy ra .1 2( ), ( )C x C xNghiệm riêng: ry Nghiệm tổng quát của (1): 0tq ry y y chỉ cần tìm một nghiệm riêng biệt của pt thuần nhất.1( )y xKẾT LUẬN:Để giải phương trình "" "( ) ( ) ( )y p x y q x y f x  Từ nghiệm suy ra:( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  1( )y xTìm nghiệm 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )ry c x y x c x y x " "1 1 2 2" " " "1 1 2 20( )C y C yC y C y f x   1 2( ), ( )C x C x ryNghiệm tổng thể của pt ko thuần nhất: 0tq ry y y 4Ví dụ Giải phương trình 2 "" " 34 (1)x y xy y x  Phương trình thuần nhất: "" " 21 1 0 (2)y y yx x  Đoán một nghiệm riêng của pt thuần nhất: 1( )y x xTìm nghiệm riêng sản phẩm hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  12dxxex dxx  Phương trình chuẩn: "" "21 1 4y y y xx x  lnx xTìm nghiệm riêng rẽ của pt (1) bởi PP thay đổi thiên hằng sốTrong bài này ta đoán được: 3y xNghiệm bao quát của (1): 0 1 23ln | |rtq y C xy C x x xy    Ví dụ Giải phương trình  "" "tan 2 0y x y y  Đoán một nghiệm riêng: 1( ) siny x xTìm nghiệm riêng thiết bị hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  tan2sin sinxdxex dxx  Ví dụ Giải phương trình "" "2 22 2 01 1x yy yx x   Đoán một nghiệm riêng: 1( )y x xTìm nghiệm riêng trang bị hai của (2):( )2 1 21( ) ( )( )p x dxey x y x dxy x  2212x dxxex dxx  5II. Ptrình vi phân đường tính cấp cho 2 thông số hằngĐịnh nghĩa phương trình ko thuần nhất thông số hằngPhương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình"" " ( ), (1)y py qy f x  trong đó là hằng số, cùng f(x) là hàm liên tục.,p qĐịnh nghĩa phương trình thuần nhất hệ số hằngPhương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình"" " 0, (2)y py qy  trong đó là các hằng số.,p qGiải phương trình thuần nhất: "" " 0, (2)y py qy  Phương trình sệt trưng: 2 0k hành động q  TH 1: PTĐT bao gồm hai nghiệm thực phân biệt 1 2,k kTH 2: PTĐT có một nghiệm kép 0kNghiệm tổng quát: 1 trăng tròn 1 2k x k xy C e C e Nghiệm tổng quát: 0 00 1 2k x k xxy C e C e TH 3: PTĐT tất cả một nghiệm phức 1k a bi Nghiệm tổng quát:  0 1 2cos sinaxy e C bx C bx 6Tìm nghiệm riêng biệt của phương trình không thuần nhấtTrường hòa hợp chung: phương pháp biến thiên hằng số.Xét nhị trường hợp đặc biệt:TH 1: , Pn(x) là đa thức bậc n.( ) ( ) xnf x phường x eTìm ở dạng: ( )s xr ny x e Q xrys = 0, còn nếu như không là nghiệm của pt quánh trưng.s = 1, nếu như là nghiệm đối chọi của pt đặc trưng.s = 2, ví như là nghiệm kép của pt quánh trưng.là đa thức gồm bậc tối đa là n.( )nQ xĐể tìm những hệ số của , cụ vào pt (1).ry( )nQ xTH 2:  ( ) ( )cos ( )sinx n mf x e p. X x Q x x   Tìm làm việc dạng:  ( )cos ( )sins xr k ky x e H x x T x x   rys = 0, nếu không là nghiệm của pt đặc trưng.i s = 1, ví như là nghiệm đơn của pt sệt trưng.i : hai nhiều thức bậc buổi tối đa là .max , k m n,k kH TĐể tìm các hệ số của , vắt vào pt (1):ry"" " ( )r r ry py qy f x  Vì sinx và cosx độc lập tuyến tính nên các hệ số tươngứng bởi nhau.,k kH T7Chú ý:1) Có nguyên tắc cộng dồn (chồng chất) nghiệm:"" "1 2( ) ( ) ( )y py qy f x f x f x    nghiệm riêng của (1) gồm dạng1 2r r ry y y nghiệm riêng của pt:1ry "" " 1( )y py qy f x  nghiệm riêng của pt:2ry "" " 2( )y py qy f x  2) là trường thích hợp 1:( ) ( )nf x p x 0( ) ( )x nf x e p x3) là trường đúng theo 2:( ) ( )cosnf x p. X x 0( ) ( )cos 0sinx nf x e p x x x  Ví dụ Giải phương trình "" "5 6 xy y y e  ( )s xr ny x e Q xPhương trình sệt trưng: 2 5 6 0k k   1 22 3k k   Nghiệm tổng thể của pt thuần nhất: 2 30 1 2x xy C e C e ( ) ( )x xnf x e p x e  bậc 0.1, ( )nP x  1, ( )nQ x A    (vì Pn bậc 0)s = 0, bởi vì không là nghiệm của pt đặc trưng.1  0 x xry x e A Ae   " "",x xr ry Ae y Ae   "" "5 6 xr r ry y y e   5 6x x x xAe Ae Ae e       112A Kluận: Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 2 31 2112x x xC e C e e  8Ví dụ Giải phương trình "" 24y y x ( )s xr ny x e Q xPhương trình quánh trưng: 2 4 0k   1 22 2k i k i    Nghiệm t/quát của pt th/nhất:  00 1 2cos2 sin 2xy e C x C x 2 0( ) ( ) xnf x x p. X e  bậc 2.0, ( )nP x 20, ( )nQ x Ax Bx C     (vì Pn bậc 2)s = 0, vì không là nghiệm của pt quánh trưng.0  0 0 2 2xry x e Ax Bx C Ax Bx C      " ""2 , 2r ry Ax B y A  "" 24r ry y x  2 22 4( )A Ax Bx C x    1 1, 0,4 8A B C    Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 21 1cos2 sin 24 8C x C x x   Ví dụ Giải phương trình "" "2 3y y x ( )s xr ny x e Q xPhương trình đặc trưng: 2 2 0k k  1 20 2k k    Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 0 đôi mươi 1 2x xy C e C e 0( ) 3 ( ) xnf x x phường x e  bậc 1.0, ( )nP x 0, ( )nQ x Ax B    (vì Pn bậc 1)s = 1, vì là nghiệm đối chọi của pt quánh trưng.0  1 0 2xry x e Ax B Ax Bx   " ""2 , 2r ry Ax B y A  "" "2 3ry y x  2 2(2 ) 3A Ax B x   3 3,4 4A B   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 23 34 4xC C e x   9Ví dụ Giải phương trình "" "2 2 xy y y e  ( )s xr ny x e Q xPhương trình quánh trưng: 2 2 1 0k k   1 2 1k k  Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 0 1 2x xy C e C ex 1( ) 2 ( )x xnf x e p x e  bậc 0.1, ( )nP x 1, ( )nQ x A   (vì Pn bậc 0)s = 2, vì chưng là nghiệm kép của pt đặc trưng.1 22 x xry x e A Ax e " 2 "" 2(2 ), (2 4 )x xr ry Ae x x y Ae x x    "" "2 2 xr r ry y y e  3 3,4 4A B   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  21 23 34 4xC C e x   Ví dụ Giải phương trình "" "4 3 sin 2y y y x   ( )cos2 ( )sin 2s xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t/quát của pt th/nhất: 30 1 2x xy C e C e 0( ) (0.cos2 sin 2 )xf x e x x bậc 0.0, 2, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 0, bởi vì không là nghiệm của pt quánh trưng.2i i  Phương trình sệt trưng: 2 4 3 0k k  max , 0k m n 1 21 3k k   10cos2 sin 2ry A x B x " ""2 sin 2 2 cos2 , 4 cos2 4 sin 2r ry A x B x y A x B x     "" "4 3 sin 2r r ry y y x  Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 31 28 1cos2 sin 265 65x xC e C e x x       cos2 si2 si43 sin 2n 24 cosn2 2 co24 in 2 s2s A x ba xA xx B xB x x   ( 8 )cos 2 (8 )sin 2 sin 2A B x A B x x    8 08 1A bố B   8 1,65 65A B    8 1cos2 sin 265 65ry x x   ( )cos ( )sins xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t/quát của pt th/nhất:  00 1 2cos sinxy e C x C x 0( ) (cos 0.sin )xf x e x x bậc 0.0, 1, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 1, bởi là nghiệm của pt quánh trưng.i i  Phương trình quánh trưng: 2 1 0k  max , 0k m n 1 2k i k i    Ví dụ Giải phương trình "" cosy y x 11 cos sinry x A x B x " ( )cos ( )sinry A Bx x B Ax x   "" cosr ry y x Nghiệm t/quát: 0tq ry y y  1 21cos sin sin2C x C x x x       -2 - sin 2 - cos cos s oin c sA Bx x B Ax x x xA x B x  10,2A B   1 sin2ry x x    "" -2 - sin 2 - cosry A Bx x B Ax x 2 sin 2 cos cosA x B x x   ( )cos ( )sins xr k ky x e T x x H x x Nghiệm t.quát pt th.nhất: 0 1122 cos 7 72n2sixy e C x C x     0( ) (cos 2sin )xf x e x x bậc 0.0, 1, ( ), ( )n mP x Q x   0, ,k kT A H B   s = 0, vị không là nghiệm của pt đặc trưng.i i  Phương trình sệt trưng: 2 2 0k k  max , 0k m n 11272k i  Ví dụ Giải phương trình "" " 2 2sin cosy y y x x   12cos sinry A x B x  " sin cosry A x B x  "" " 2 cos 2sinr r ry y y x x   Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 121 27 7 3 1cos sin cos sin2 2 2 2xtqy e C x C x x x        sin cos cos sincos say mê 2 c s 2 nn o siA x B xA A x xx B x xB x     12A tía B    1 3,2 2A B  "" cos sinry A x B x  ( )cos ( )sin cos 2sinA B x A B x x x     1 3cos sin2 2ry x x  Nghiệm t/quát pt th/nhất: 2 trăng tròn 1 2x xy C e C xe 21 2( ) ( ) ( )xf x f x f x x e   Phương trình sệt trưng: 2 4 4 0k k   1 2 2k k  Ví dụ Giải phương trình "" " 24 4 xy y y x e   Sử dụng nguyên tắc cộng dồn nghiệmTìm nghiệm riêng ứng với :1( )f x"" "14 4 ( ) (1)y y y x f x   1( )s xr ny x e Q x 0, ( )nQ x Ax B    (vì Pn bậc 1)s = 0, bởi không là nghiệm của pt quánh trưng.0 Thay vào pt (1), ta có1ry Ax B 14A B 11 14 4ry x  13Thay vào pt (2), ta bao gồm 12A Tìm nghiệm riêng ứng cùng với :2( )f x"" " 224 4 ( ) (2)xy y y e f x   22 2 xry x e A1( )s xr ny x e Q x 2, ( )nQ x A   (vì Pn bậc 0)s = 2, do là nghiệm kép của pt đặc trưng2 Một nghiệm riêng của đề bài xích là:1 2r r ry y y  2 21 1 14 4 2xx x e  Nghiệm t/quát: 0tq ry y y 2 2 2 21 21 1 14 4 2x x xtqy C e C xe pháo x x e    II. Hệ pt vi phân con đường tính cấp cho 1 hệ số hằng.Hệ phương trình vi phân (n phương trình, n hàm số)111 1 12 2 1 1221 1 22 2 2 21 1 2 2... ( )... ( )... ( )n nn nnn n nn n ndx a x a x a x f tdtdx a x a x a x f tdtdx a x a x a x f tdt                  (1)trong đó là các hàm theo t, liên tục.( )f tlà những hàm theo t.1 2( ), ( ), , ( )nx t x t x t14II. Hệ pt vi phân con đường tính cấp 1 thông số hằng11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a         12nxxXx      12( )( )( )( )nf tf tF tf t      Hệ phương trình ngơi nghỉ dạng ma trận: ( )dX AX F tdt  (2)Hệ phương trình thuần nhất: dX AXdt (3)Nghiệm của hệ là hàm véctơ trên khoảng chừng (a,b) tất cả toạđộ là những hàm khả vi liên tục trên (a,b) cùng thoả hệ:II. Hệ phương trình vi phân đường tính cấp cho 1Cấu trúc nghiệm của hệ con đường tính (2)0tq rX X X là nghiệm tổng quát của hệ pt không thuần duy nhất (2)tqXlà nghiệm tổng quát của hệ pt thuần duy nhất (3)0Xlà nghiệm riêng của hệ pt ko thuần tốt nhất (2)rX15Phương pháp khửNội dung phương thức khử là chuyển hệ phương trình viphân về phương trình vi phân cấp cao hơn nữa bằng cáchđạo hàm một phương trình rồi khử những hàm không biết.Ưu điểmGiải hệ phương trình siêu nhanh.Nhược điểmRất cạnh tranh giải hệ những phương trình, các hàm.Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 224 3x x xx x x   Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1)." "1 2 24 5 (*)x x x   Đạo hàm nhì vế phương trình (2)."" " "2 1 24 3 x x x " " ""1 2 24 3 x x x   cố gắng vào pt (*)Thay vào pt 2 của hệ" "" "2 2 2 23 5x x x x   "" "2 2 24 5 0x x x  51 1 2( )t tx t C e C e 52 1 21( )2t tx t C e C e  16Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 232 2tx x x ex x x t     Lấy phương trình (2) trừ gấp đôi phương trình (1)." "1 2 12 4 2 (*)tx x x t e     Đạo hàm nhị vế phương trình (1)."" " "1 1 23 tx x x e   " "" "2 1 13 tx x x e    cụ vào pt (*)" "" "1 1 1 12 3 4 2t tx x x e x t e        "" "1 1 15 4tx x x t e   41 1 25( )9 3 4 16t tt t e te tx t C e C e      vậy vào pt 1 của hệ42 1 28 2 3 11( ) 29 3 4 16t tt t e te tx t C e C e      Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 332 4 23x x x xx x x xx x x x        Lấy phương trình (2) trừ 4 lần phương trình (1)." "1 2 1 34 10 2 (*)x x x x    Lấy phương trình (3) trừ phương trình (1)." "1 3 1 32 2 (**)x x x x    Đạo hàm nhì vế pt (1): " "" " "2 1 1 33x x x x  Thay vào pt (*): " "" " "1 1 1 3 1 34 3 10 2 x x x x x x      17"" " "1 1 3 1 37 10 2 (***)x x x x x    Cộng nhì pt (**) với (***) "" "1 1 18 12 0x x x  6 21 1 2( )t tx t C e C e 6 23 1 3( )t tx t C e C e Thay vào pt (**):" 63 3 12 4tx x C e Thay vào pt (1) của hệ, ta có: "2 1 1 33x x x x  6 2 6 2 6 22 1 2 1 2 1 3( ) 6 2 3 3t t t t t tx t C e C e C e C e C e C e      6 22 1 2 3( ) 2 t tx t C e C C e  Nghiệm của hệ đã cho:123( )( )( )x tx tx t Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 36 1234 12 3x x x xx x x xx x x x         Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1)." "1 2 1 25 9 (1)x x x x    Lấy pt thứ ba của hệ cộng 3 lần pt đầu của hệ" "1 3 1 23 14 24 (2)x x x x  Đạo hàm hai vế pt (2): " " " ""3 1 2 23x x x x  Thay vào pt (2): " " ""1 2 2 1 24 3 14 24 (3)x x x x x   18Khử trong pt (1) với (3):1x " " ""1 2 2 26 5 6 (4)x x x x  Đạo hàm nhị vế (5):Khử trong pt (1) với (3):"1x" ""2 2 1 26 12 (5)x x x x   "" """ " "2 2 1 26 12 (6)x x x x   Rút nỗ lực vào (4):"1x""" "" "2 2 2 26 12 6 0x x x x   Giải phương trình này ta được 2 32 1 2 3( )t t tx t C e C e C e  Thay vào (4) ta được 1( )x tThay vào đầu của hệ ta được 3( )x tVí dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 32 4 34 6 33 3x x x xx x x xx x x x         Cộng hai phương trình đầu của hệ." "1 2 1 22 2 (1)x x x x   Lấy pt đầu trừ 3 lần pt đầu của hệ" "1 3 1 23 7 5 (2)x x x x   Đạo hàm nhị vế pt đầu: " " " ""3 1 2 13 2 4x x x x   Thay vào pt (2): " " ""1 2 1 1 23 4 7 5 (3)x x x x x    19" " ""1 2 1 13 2 4 (4)x x x x   Đạo hàm nhị vế (5):Khử trong pt (1) và (3):2xKhử trong pt (1) và (3):"2x" ""1 1 1 23 (5)x x x x   "" """ " "1 1 1 23 (6)x x x x   Rút nạm vào (4):"2x""" ""1 1 13 4 0x x x  Giải phương trình này ta được 2 21 1 2 3( )t t tx t C e C e C te   Thay vào (4) ta được 2 ( )x tThay vào đầu của hệ ta được 3( )x tVí dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 2 3"3 1 2 332 2tx x x ex x x tx x x x t          Lấy 3 lần pt đầu trừ pt thiết bị hai của hệ." "1 2 1 33 3 3 - (1)tx x x x e t   Lấy pt đầu trừ pt thứ 3 của hệ" "1 3 1 32 2 - 2 (2)tx x x x e t   Đạo hàm nhì vế pt đầu: " " ""2 1 1tx x x e   Thay vào pt (1): " ""1 1 1 34 3 2 - (3)tx x x x e t   20" "" "1 1 3 19 2 8 5 - 4 (4)tx x x x e t   Đạo hàm hai vế (3):Khử trong pt (2) cùng (3):3x"" """ " "1 1 1 34 3 2 -1 (5)tx x x x e   Rút chũm vào (4):"3x""" "" "1 1 1 16 12 8 3 4 1tx x x x e t     Giải phương trình này ta được2 2 2 21 1 2 35( ) 32 8t t t t tx t C e C te C t e e     Thay vào pt đầu của hệ ta được 2 ( )x tThay vào pt nhì của hệ ta được 3( )x tPhương pháp trị riêng, véctơ riêngA là ma trận thực, vuông cấp n.Trường vừa lòng 1: A chéo hoá được:( ) (2)dX AX F tdt 1A PDP ( )dX AX F tdt 1 ( )dX PDP X F tdt   1 1 1 ( )dXP DP X phường F tdt    1Y p. XĐặt " 1 "Y phường X " 1 ( )Y DY p F t Ta có:Đây là các phương trình vi phân cấp 1 bóc rời nhau.21Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 1 232 2tx x x ex x x t     Chéo hoá A:12xXx    3 12 2A     ( )teF tt    1 1 1 4 0 2 /3 1/31 2 0 1 1/3 1/3A PDP             1Y p XĐặt " 1 ( )Y DY phường F t Ta có:"1 1"224 0 2/3 1/30 1 1/3 1/3ty y ey ty                         "1 1"224 0 2/3 1/30 1 1/3 1/3ty y ey ty                         "1 1"2 2243 313 3ttty y ety y e       hệ bao gồm hai ptrình vi phântuyến tính cấp 1 riêng biệt41 12 22 1( )9 12 481( )3 3 3t tt tty t C e et ty t C e e         Nghiệm của hệ: 1 12 2x yPx y         121 11 2yy       22Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 33 42 4 23 8x x x x tx x x xx x x x          Chéo hoá A ( xem Đại số tuyến tính)123xX xx      3 1 12 4 21 1 3A      4( ) 08tF t      11 1 1 2 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 21 0 2 0 2 0 1/ 4 1/ 4 3/ 40 1 1 0 0 6 1/ 4 1/ 4 1/ 4A PDP                     1Y phường XĐặt " 1 ( )Y DY p. F t Ta có:"1 1"2 2"3 32 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 40 2 0 1/ 4 1/ 4 3/ 4 00 0 6 1/ 4 1/ 4 1/ 4 8y y ty yy y                                       "1 1"2 2"3 32 2 42 66 2y y ty y ty y t         21 122 263 3( ) 5/ 2( ) / 2 11/ 4( ) / 6 19 /36ttty t C e ty t C e ty t C e t         Nghiệmcủa hệ X PY21122 263 35/ 2( ) 1 1 1( ) 1 0 2 / 2 11/ 4( ) 0 1 1 / 6 19 /36tttC e tx tx t C e tx t C e t                           23Phương pháp trị riêng, véctơ riêngTrường vừa lòng 2: A không chéo hoá được:( ) (2)dX AX F tdt 1(2) ( )dX PTP X F tdt  1 1 1 ( )dXP TP X phường F tdt    1Y p. XĐặt " 1 "Y p X " 1 ( )Y TY phường F t Ta có:Mọi ma trận (thực hoặc phức) phần đông tam giác hoá được.1A PTP cùng với T là ma trận tam giác.Đây là hệ tam giác,giải từ dưới lên.Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2 3"2 1 2 3"3 1 2 32 4 34 6 33 3x x x xx x x xx x x x         A không chéo hoá được ( coi Đại số con đường tính)123xX xx      2 4 34 6 33 3 1A        Đây là hệ thuần nhất.2| | 0 ( 2) ( 1) 0A I       1 2   bao gồm một VTR hòa bình tuyến tính 1110X      242 1  gồm một VTR tự do tuyến tính 3111X      Tìm nhì ma trận1231 11 10 1xP xx      2 00 2 00 0 1mT      1A PTP AP PT  2 1 22AX mX X  Gọi là cột lắp thêm hai của ma trận P.2XChọn m = 11 12 23 32 4 3 14 6 3 1 23 3 1 0x xx xx x                                  12311xxx               Chọn 1  2211X       1 2 11 1 10 1 1P       2 1 00 2 00 0 1T      1Y p XĐặt "Y TYTa có:"1 1"2 2"3 32 1 00 2 00 0 1y yy yy y                      "1 1 2"2 2"3 322y y yy yy y      2 21 1 222 23 3( )( )( )t ttty t C e C tey t C ey t C e     1 12 23 3( ) 1 2 1( ) 1 1 1( ) 0 1 1x t yx t yx t y                       25Ví dụ Giải hệ phương trình"1 1 2"2 2 3"3 1 2 332 2tx x x ex x x tx x x x t          A không chéo hoá được ( xem Đại số tuyến tính)123xX xx      1 1 00 3 11 1 2A      3| | 0 ( 2) 0A I     1 2  gồm một VTR tự do tuyến tính 1111X      ( )2teF t tt      Tìm nhì ma trận1 12 23 3111x yP x yx y      20 đôi mươi 0 2a bT c      1A PTP AP PT  2 1 22AX aX X  Gọi là cột máy hai của ma trận P.2XChọn a = 11 12 23 31 1 0 10 3 1 1 21 1 2 1x xx xx x                                12311xxx               Chọn 2  2121X       1231 11 21 1yP yy      2 10 đôi mươi 0 2bT c      261A PTP AP PT  3 1 2 32AX bX cX X    chọn b = 0,c=11 12 23 31 1 0 10 3 1 2 21 1 2 1y yy yy y                                12312xxx               Chọn 2  3120X       1 1 11 2 21 1 0P      2 1 00 2 10 0 2T      12 1 02 1 11 0 1P      "1 1"2 2"3 32 1 0 2 1 00 2 1 2 1 10 0 2 1 0 1 2ty y ey y ty y t                                      "1 1 2"2 2 3"3 32 22 2 32 2ttty y y e ty y y e ty y e t           1Y phường XĐặt " 1 ( )Y TY p. F t Ta có:122 2 33 3( )( ) 2 / 2 3/ 4( ) 2 2 2t t tt ty ty t C e C e te ty t C e te t         27Nhận xét:sau lúc khử ta được phương trình vi phân đường tínhcấp cao của một pt. Phương trình đặc trưng của pt nàytrùng với pt đặc trưng của ma trận A, hoặc trong một sốGiải hệ bằng cách thức khử:" ( )X AX F t trường phù hợp trùng với phương trình buổi tối thiểu của A.Phương pháp khử: 1) Khử lần lượt từng trở thành trong hệ.2) trong quá trình khử: đạo hàm hai vế.Hệ 3 pt, 3 ẩn: khử dễ dàng, hệ các pt các ẩn: khó