Ba đường cao của tam giác

     

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ xuất phát từ 1 đỉnh cho đường thẳng đựng cạnh đối diện gọi là con đường cao của tam giác đó.

Bạn đang xem: Ba đường cao của tam giác

Ví dụ: Xét tam giác (ABC), đoạn thẳng(AI)vuông góc với(BC). Ta nói đoạn thẳng(AI)là một đường cao (xuất phân phát từ đỉnh(A)) của tam giác(ABC).

*

Đôi khi ta cũng nói đường thẳng(AI)là một đường cao của tam giác(ABC).

Tương trường đoản cú như vậy, ta có thể kẻ những đường cao​​(BH,CK)của tam giác(ABC)như hình sau:

*

Mỗi tam giác có cha đường cao.

Ví dụ 1: mang đến tam giác nhọn(ABC)có hai đường cao(AD,BE)cắt nhau tại(H). Biết(widehatACB=70^0). Tính số đo góc(widehatDHE)?

Giải:

*

Xét trong tam giác(BEC)vuông tại(E)ta có(widehatEBC+widehatECB=90^0)

(RightarrowwidehatEBC=90^0-70^0=20^0)hay(widehatHBD=20^0)

Xét trong tam giác(HDB)vuông tại(D)ta có(widehatHBD+widehatDHB=90^0)

(RightarrowwidehatDHB=90^0-widehatHBD=90^0-20^0=70^0)

Mặt không giống ta có:(widehatDHB+widehatDHE=180^0)(hai góc bù nhau)

Nên(widehatDHE=180^0-70^0=110^0)

2. Tính chất ba đường cao của tam giác

Định lí:

Ba mặt đường cao của một tam giác thuộc đi qua một điểm. Điểm này hotline là trực trung tâm của tam giác.

Ví dụ: Xét các dạng tam giác(ABC)sau. Những đường cao(AI,BK,CL)cùng trải qua (đồng quy tại) điểm(H). Khi đó,(H)là trực tâm của tam giác(ABC).

*

Nhận xét: Trực trung ương của một tam giác có thể nằm trong tam giác, hoàn toàn có thể nằm ko kể tam giác hoặc trùng với cùng 1 đỉnh của tam giác.

Ví dụ 2: mang đến tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A).Trên cạnh(AB)lấy điểm(H). Bên trên tia đối của tia(AC)lấy điểm(D)sao cho(AD=AH).

Xem thêm: Cộng Đồng Sever Private Thiên Long Bát Bộ Lậu 2018, 2019, Thiên Long Bát Bộ

Chứng minh rằng(CHperp BD).

Giải:

*

Gọi giao điểm của(DH)và(BC)là(E).

Do tam giác(ABC)vuông cân nặng tại(A)nên(widehatACB=widehatABC=45^0)

(RightarrowwidehatECD=45^0)

Lại có:(AD=AH)(RightarrowDelta AHD)vuông cân tại(A). Vị đó(widehatAHD=widehatADH=45^0)

(RightarrowwidehatCDE=45^0)

Xét tam giác(ECD)có(widehatCDE+widehatECD+widehatCED=180^0)(tổng tía góc vào một tam giác)

(Rightarrow45^0+45^0+widehatCED=180^0RightarrowwidehatCED=90^0)

(Rightarrow DHperp BC)

Xét tam giác(BCD)có(BHperp CD,DHperp BC)suy ra những đường thẳng(BH,DH)là con đường cao của tam giác(BCD)

Do 3 mặt đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Nên(H)là trực trọng tâm của tam giác(BCD)(Rightarrow CHperp BD)


3. Về những đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất:

Trong một tam giác cân, mặt đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là mặt đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng bắt đầu từ đỉnh đối lập với cạnh đó.

Nhận xét: vào một tam giác, trường hợp hai trong bốn loại mặt đường (đường trung tuyến, đường phân giác, mặt đường cao cùng căn nguyên tại một đỉnh và con đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là 1 trong tam giác cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)cân tại(A), mặt đường cao(AI). Biết(AB=AC=10cm),(BC=12cm). Tính độ lâu năm đoạn thẳng(AI).

Giải:

Do tam giác(ABC)cân tại(A)nên mặt đường cao(AI)đồng thời là trung đường ứng cùng với cạnh(BC)

(Rightarrow I)là trung điểm(BC)

(Rightarrow IB=dfracBC2=dfrac122=6left(cm ight))

Ta có: Tam giác(ABI)vuông tại(I). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

(AI^2+BI^2=AB^2)

(Rightarrow AI=sqrtAB^2-BI^2=sqrt10^2-6^2=8left(cm ight))


Đặc biệt:Đối với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm biện pháp đều cha đỉnh, điểm bên trong tam giác và phương pháp đều bố cạnh là tứ điểm trùng nhau.